성적과 통계학 (1)
게시글 주소: https://orbi.kr/00067993601
평균이 50점이고 표준편차가 20점인 시험이 있다고 합시다.
그렇다면 이 시험에서 70점을 받은 학생은 일반적으로 3등급 후반이 된다는 사실을 아시나요?
이 시험에서 85점을 받으면 웬만하면 1등급이 됩니다. 물론 다 된다는건 아니고, 안되는 특이 케이스도 있기는 하지만 대부분은 1등급이 됩니다.
오늘은 이런 이야기를 한 번 해보려고 합니다.
수능이나 모의고사에서 표준점수는 응시자들의 성적을 적절하게 조작해서 평균과 표준편차를 일정하게 맞춘 점수입니다.
원점수가 100점 만점인 국어, 수학에서는 응시자들의 표준점수 평균이 100점, 표준편차가 20점이 되도록 맞추고,
원점수가 50점 만점인 탐구에서는 응시자들의 표준점수 평균이 50점, 표준편차가 10점이 되도록 맞춥니다.
표준점수의 평균이 100점이고 표준편차가 20점인 국어, 수학에서
표준점수가 100점이라는 것은 어떤 의미일까요? 표준점수의 평균이 100점이라고 했으니 그냥 딱 평균만큼 받았다는 의미입니다.
그렇다면 표준점수가 120점이라는 것은 어떤 의미일까요? 평균보다 1표준편차만큼 잘 봤다는 의미가 됩니다. 평균이 100점, 표준편차가 20점이니까 (평균) + 1×(표준편차)를 하면 딱 120이 되죠
마찬가지로 표준점수가 140점이면 평균보다 2표준편차만큼 잘 봤다는 의미가 되고
표준점수가 130점이면 평균보다 1.5표준편차만큼 잘 봤다는 의미가 됩니다.
이렇게 평균보다 몇 표준편차만큼 잘(못) 봤는지를 따지는게 이번 글 내용의 핵심이라고 할 수 있습니다.
그렇다면 이걸 왜 따지느냐? 이걸 따지면 나의 상대적 위치를 예측해볼 수 있기 때문입니다.
국어나 수학에서 표준점수 100점이면, 그러니까 딱 평균만큼 받았으면 몇 등급이 나올거라고 예상하시나요?
사실 이건 너무 쉽죠. 평균이라고 하면 보통 가운데 등급인 5등급이 연상되잖아요?
실제로 국어나 수학에서 표준점수 100점을 받으면 5등급이 나옵니다.
탐구에서도 마찬가지로 표준점수 50점을 받으면 일반적으로 5등급이 나옵니다.
그러면 처음에 소개했던 것처럼, 평균보다 1표준편차만큼 잘 본 경우에도 등급을 예측할 수 있을까요? 그러니까 국어나 수학에서는 표준점수가 120점, 탐구에서는 표준점수가 60점이라면 보통 몇 등급인지 예측할 수 있을까요?
복잡하게 생각할 것 없이 과거 사례들을 찾아보면 답이 나옵니다.
국어, 수학에서 표준점수 3등급컷은 보통 116 ~ 118에서 형성되는 경향이 있습니다. 작년 뿐만 아니라 그 전년도를 찾아봐도 마찬가지입니다. 3등급컷이 높게 나오면 119까지도 올라가긴 하지만 120을 넘어가는 시험은 거의 찾아보기 어렵습니다. 따라서 표준점수 120점이 나오면 매우 높은 확률로 3등급이 된다는 사실을 알 수 있습니다.
탐구 같은 경우에도 표준점수 60점이면 웬만하면 3등급이 됩니다. 그렇다고 모두 3등급이 된다는건 아니고, 다음과 같이 4등급으로 떨어지는 경우도 있습니다.
이거는 성적 분포 양상에 따라 차이가 있어서 그렇습니다. 평균보다 1표준편차만큼 잘 보면 무조건 3등급이 된다는 절대적인 법칙은 없어요. 하지만 작년 수능의 경우, 한국지리를 제외하면 표준점수 60점이면 모두 3등급이 되었습니다. 따라서 100%는 아니지만, 탐구 표준점수 60점도 높은 확률로 3등급이 된다는 사실을 알 수 있죠.
그렇다면 혹시 내신에서도, 평균과 표준편차만 가지고 나의 상대적인 위치를 파악할 수 있지 않을까요? 오늘 그걸 알아보기 위해 제가 대략 코딩을 해왔습니다.
먼저, 실제 내신 시험처럼 학생 수를 250명으로 가정하였습니다.
그리고 0부터 100까지의 정수를 학생 수만큼 랜덤으로 추출합니다. 학생 수가 250명이니까 250개를 추출하게 되겠군요. 이때 추출된 숫자가 각 학생의 시험 점수가 됩니다.
그리고 추출된 250개 점수의 평균과 표준편차를 구해서, (평균)+z×(표준편차)에 해당하는 학생이 몇 등급에 속하는지를 기록합니다. 이 과정을 10,000번 반복해서 최종적으로 이 학생이 몇 등급에 속할 확률이 가장 높은지 따져보는 것입니다.
먼저 z=0으로 했을 때의 결과입니다. 딱 평균만큼 받았을 때죠. (국어 수학 표준점수 100점, 탐구 표준점수 50점에 해당)
반복 횟수 10,000번에 대해서 10,000번 모두 5등급이 나왔습니다(등급 분포 양상의 왼쪽부터 1등급이 나온 횟수, 2등급이 나온 횟수, ...로 읽으시면 됩니다.). 평균적으로 상위 49.95%로 딱 중간 위치를 차지하고 있다는 것을 알 수 있네요
이번에는 z=1로 해보겠습니다.
예를 들어 원점수 평균이 52점이고 표준편차가 23점인 시험이 있다면, 52+23=75점을 받은 학생은 보통 몇 등급에 속하는지를 알아보려고 합니다. (국어 수학 표준점수 120점, 탐구 표준점수 60점에 해당)
반복 횟수 10,000번에 대해서 3등급이 나온 횟수는 9,183회이고, 4등급이 나온 횟수는 817회입니다.
그러니까 대부분은 3등급이 나오는데 운이 나쁘면 4등급으로 떨어질 수도 있는 것이네요
이렇게 z값을 변경시켜가며 각 z에 대해 응시자들의 등급이 어디에 해당할지 몇 가지 살펴봤습니다.
z=1.2일 때 (국어 수학 표준점수 124점, 탐구 표준점수 62점에 해당)
ex) 원점수 평균 52점, 표준편차 23점일 때, 52+1.2×23=79.6점은 보통 몇 등급에 해당되는가?
3등급일 확률이 가장 높다!
z=1.5일 때 (국어 수학 표준점수 130점, 탐구 표준점수 65점에 해당)
ex) 원점수 평균 52점, 표준편차 23점일 때, 52+1.5×23=86.5점은 보통 몇 등급에 해당되는가?
2등급일 확률이 가장 높다!
z=1.8일 때 (국어 수학 표준점수 136점, 탐구 표준점수 68점에 해당)
ex) 원점수 평균 52점, 표준편차 23점일 때, 52+1.8×23=93.4점은 보통 몇 등급에 해당되는가?
1등급일 확률이 가장 높다!
z=0.5일 때 (국어 수학 표준점수 110점, 탐구 표준점수 55점에 해당)
ex) 원점수 평균 52점, 표준편차 23점일 때, 52+0.5×23=63.5점은 보통 몇 등급에 해당되는가?
4등급일 확률이 가장 높다!
결과 자체는 꽤 일리 있어 보이게 나왔습니다.
그런데 사실 이렇게 점수를 완전 랜덤으로 추출하면 별로 마음에 들지 않는 분포가 나옵니다.
뭐가 마음에 들지 않을까요?
점수를 완전히 랜덤으로 추출했다는 것은, 0부터 100까지의 숫자가 나올 확률이 1/101씩으로 완전 동일하다는 의미입니다.
그러니까 거의
90점대 인원 = 80점대 인원 = 70점대 인원 = ... = 10점대 인원 = 한 자리수 인원
꼴로 인원 분포가 나온다는 것입니다.
그런데 이는 현실적인 성적 분포와 좀 동떨어져 있죠
보통 성적 분포라고 하면 90점대 인원보다 80점대 인원이 조금 더 많고, 80점대보다 70점대가 조금 더 많은 분포를 생각하지, 저렇게 각 점수대별 인원이 다 똑같을 거라고 생각하진 않죠.
실제로 저렇게 추출하면 표준편차가 거의 28~30으로 나오는데, 이것도 현실의 표준편차와 많이 동떨어져 있다고 할 수 있습니다.
따라서 다음 편에서는 확률 분포를 직접 커스터마이징해서 등급 분포 양상을 구해보도록 하겠습니다.
감사합니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
목동 대치 시대 3
목동을 가든 대치를 가든 학사 같은 곳에 살아야하는 건 같은데 목동은 50장...
-
많은 학생들이 스타크래프트를 하다보니(저 세대는 스타였는데요, 요즘은 롤인가? ㅋ)...
-
아마 수능에서 이것보다 어렵게 낼 수는 없을거라 생각함 솔직히 조금 과한 문제들도...
-
작수 언미생지 90 92 47 50 영한 11이면 의대 라인 어느정도인가요?
-
생2 질문입니다 3
NADH 가 NAD+ 로 되는것도 탈수소반응이라고 할 수 있나요??
-
이감3-2 6
독서-2 문학-22 언매-7 69점 떴는데 바로 찢어서 버려도 괜찮을까요 작년...
-
사라지는 추세인 거 같긴 하던데...
-
6월 대비 '탈' 모의고사에서 검토진을 모집합니다. 15개정 기하 8문항의 문제...
-
언매 86점 미적 88점 과학탐구 두개 원점수 합 91점 (조합은 니좆대로 해도...
-
안녕하세요 :) 디올러 S (디올 Science, 디올 소통 계정) 입니다....
-
27번이 퀄모랑 겹친다는 소식이 들어왔습니다 아 진짜 눈물나네 왜 하필 아아 한 2주만 빨리낼걸
-
통합 1컷 = 나형 99~100 통합 백분위 93~94 = 나형 98~99 통합...
-
서성한 질문 3
서강이 수학을 많이 본다는건 아는데 다른곳은 어느 과목 비중이 높은지 알 수 있을까요 ,,
-
강민철 김상훈 3
재수생 국어 5등급인데 혼자 기출분석 하다가 실력 ㅈ도 안오르는거같고 혼자하는것도...
-
두세번이나 9평 4등급이었는데 수능때 안정적 1나옴 이유는 전혀모르겠음 지구과학도...
-
기하 vs 미적 2
수학 3등급이 목표입니다 제가 목표하는 대학이 기하, 미적분에 가산점을 줘서 둘...
-
수학황들 필독 2
미적 뉴런 들어가기전에 수분감으로 기출좀 풀려고하는데 경험상 옛날기출은 특이한걸...
-
수특은 독서 문학 다 풀었긴했는데 6평전에 문학 2장르정도밖에 못 보고 갈 것...
-
완벽한 날씨 딱맞는 playlist 오늘의 selfie I say 6평 2주 남음 1
여러분 공부합시다 ? 6모 벼락치기 학습법 들으러 오세요!
-
확통 4등급인데 미지쌤 실전개념을 듣는게 맞는가 싶어요 기본개념은 다 알고 있다고...
-
생윤 실모를 사려고 하는데 김종익T실모랑 현자의돌 실모 중에 뭐가 더 낫나요? 둘...
-
이번년도 10월에 전역하는 군수생이고 노베에서 1월부터 수학만 해서 현재 강윤구t...
-
안녕하세요 ㅎㅎ 5월 모의고사 손해설입니다! 공통+확통+미적입니다. 주요 발상...
-
미적분하면 너무 어렵게 느껴지고 시험때 한 두개 맞고 그래서 확통으로 했는데 너무...
-
똥테 기념 질받 18
궁금한거 있으면 무러바요 선넘질 ㄱㄴ
-
ㅇ
-
6평 컷 예상한다 10
언매 85 77 70 화작 88 80 72 미적 81 72 62 기하 85 76...
-
진짜 모릅니다
-
무물 8
07년부터 입시선행 들어간 베테랑임
-
생1 박선우 N제 10
드뎌 다 도착 이제 기출 끝나면 고양이도 사서 커리 끝... 생1 50한자리는 내가...
-
항상 1~1.5지문 버리게 됩니다. 어디서 시간이 많이 새고 있ㅇ나요? 참고로...
-
안녕하세요 :) 디올러 (디올 연구실) 입니다. 실전개념서 디올 생1 디올 N제...
-
안녕하세요, 생달입니다. 오늘은 생명과학1 다인자유전에 대한 스킬 정리입니다. 본인...
-
(가) 2022수능 기하 4컷(원점수 51점)을 맞았다. (나) 실력도 좆도없는게...
-
안녕하세요 수학만못해요입니다! 억만년만에 정상적인 글을 씁니다. 네.. 제가 오늘...
-
중국인엔 조선족 포함 페미니스트는 이나라 모든 여초커뮤 포함
-
[권희승] 유전 문제 맞추면 스벅3 (+지난문제 해설) 21
안녕하세요! 생1 강사 권희승T입니다. 오늘은 지난번에 업로드했던 가계도 문제에...
-
반수를 준비 중인데 2학기 때 휴학하고 기숙학원을 들어가거나 재종 + 고시원 이 두...
-
변화율 질문 1
왜 하필 분모에 dx가 자리잡는지, 분자에 dy가 자리잡는지 여쭙고 싶습니다 제가...
-
반수하는데 학원 0
중계 러셀 vs 강북 메가 vs 강북 청솔 고민됩니다.... 반수반 다닐 생각이고...
-
1. 서울대 카이스트 포스텍 2. 연고 3. 서성한 및 과기원 4. 중경외시 5....
-
고1, 2때는 공부 하나도 안해도 국어는 1~2등급 왔다갔다거렸는데 어느 순간부터는...
-
아침 저녁으로 쌀쌀해지는게 수능이 코앞으로 다가왔다고 알리나 봅니다. 제법...
-
지구가 점수 오락가락하는게 고쳐지질 않아서 생명으로 옮기려하는데 생1 1등급 받기...
-
등차수열이나 등비수열이라는 말 없이 수열이라고만 되어있으면 일정한 규칙을 두지 않은...
-
이런 수학문제는 6
이런 유형 처음보고 풀 수 있는 사람이 있을까??? 솔직히 이런 유형은 안배우면...
-
등차수열을 주제로 하긴 했는데 어떤식으로 해야할지 감이 안 잡힙니다...
-
안녕하세요 ㅎㅎ 미적분 기준 1컷 71이 나오는 시험 보느라 굉장히 고생...
-
4드문으로 시작한 거로 알긴 한데 언제부터임?
-
의대가 증원을 하든 정부가 야마돌아서 으헤헤헿 교사들이 수능 문제 만들게...
Sexual & statistics
그 성적 아니고...
개재미따